Zbieżność metody elementów skończonych
Poniższe trzy lematy mają następujące zastosowania. Lemat Laxa-Milgrama oraz bardziej ogólny Warunek infimum-supremum służą do sprawdzania czy dane sformułowanie słabe posiada jednoznaczne rozwiązanie. Lemat Cea z kolei pozwala na oszacowanie błędu rozwiązania i tempa zbieżności dla metody elementów skończonych.
Niech \( V=\{ v \in L^2(\Omega):\int_{\Omega} \| v \|^2 +\| \nabla v \|^2 dx_1 dx_2 < \infty, tr(v)=0 \textrm{ on } \Gamma_D \} \) dla \( \Omega \subset {\cal R }^d \)
Niech \( B:V\times V \rightarrow {\cal R} \)
będzie formą dwuliniową \( B(\alpha_1 u_1+\alpha_2 u_2,v_1 )=\alpha_1 B(u_1,v )+\alpha_2 B(u_2,v_1 ) \)
\( B(u_1,\beta_1 v_1+\beta_2 v_2 ) = \beta_1 B(u_1,v_1 )+ \beta_2 B(u_1,v_2 ) \quad \alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2 \in {\cal R}, \forall u_1,u_2,v_1,v_2 \in V \),
ciągłą \( \exists M > 0, |B(u,v)| \leq M \|u\|_V \|v\|_V \forall u,v \in V \)
oraz koercywną tzn. \( \exists \alpha > 0, |B(u,u)| \geq \alpha \|u\|^2_V \forall u \in V \).
Niech \( L:V \rightarrow {\cal R} \) będzie formą liniową
\( L(\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2 )=\alpha_1 L(v_1 )+\alpha_2 L(v_2 )\quad \alpha_1,\alpha_2\in {\cal R}, \forall v_1,v_2 \in V \), ciągłą, tzn.
\( \exists C > 0, |L(v)| \leq C \|v\|_V \forall v \in V \).
Wówczas problem słaby \( B(u,v)=L(v)-B(\hat{u},v) \quad \forall v \in V \)
posiada jednoznaczne rozwiązanie, takie że \( \|u+\hat{u} \|_V \leq \|\hat{u}\|_V \left(1+\frac{M}{\alpha} \right)+\frac{C}{\alpha} \)
Dla bardziej skomplikowanych przypadków form sformułowania słabego \( B(u,v)=L(v)-B(\hat{u},v) \quad \forall v \in V \) zamiast Lematu Laxa-Milgrama stosuje się Lemat Babuśki równoważny Lematowi Brezzi [1].
Rozważmy rozwiązanie problemu metody elementów skończonych na siatce obliczeniowej.
Niech \( V=H^1_0(\Omega) = \{ v \in L^2(\Omega):\int_{\Omega} \| v \|^2 +\| \nabla v \|^2 dx_1 dx_2 < \infty, tr(v)=0 \textrm{ on } \Gamma_D \} \) dla \( \Omega \subset {\cal R }^d \)
Niech \( B:V\times V \rightarrow {\cal R} \)
będzie formą dwuliniową \( B(\alpha_1 u_1+\alpha_2 u_2,v_1 )=\alpha_1 B(u_1,v )+\alpha_2 B(u_2,v_1 ) \)
\( B(u_1,\beta_1 v_1+\beta_2 v_2 ) = \beta_1 B(u_1,v_1 )+ \beta_2 B(u_1,v_2 ) \quad \alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2 \in {\cal R}, \forall u_1,u_2,v_1,v_2 \in V \),
ciągłą \( \exists M > 0, |B(u,v)| \leq M \|u\|_V \|v\|_V \forall u,v \in V \)
oraz koercywną \( \exists \alpha > 0, |B(u,u)| \geq \alpha \|u\|^2_V \forall u \in V \).
Niech \( L:V \rightarrow {\cal R} \) będzie formą liniową
\( L(\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2 )=\alpha_1 L(v_1 )+\alpha_2 L(v_2 ) \quad \alpha_1,\alpha_2\in {\cal R}, \forall v_1,v_2 \in V \),
ciągłą \( \exists C > 0, |L(v)| \leq C \|v\|_V \forall v \in V \).
Niech \( u \in V \) będzie rozwiązaniem problemu słabego \( B(u,v)=L(v)-B(\hat{u},v) \quad \forall v \in V \).
Niech \( T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \) będzie siatką obliczeniową.
Niech \( V_{hp} \subset V \) będzie przestrzenią aproksymacyjną na siatce obliczeniowej.
Niech \( u_{hp} \in V_{hp} \) będzie rozwiązaniem problemu metody elementów skończonych na siatce obliczeniowej.
\( B(u_{hp},v_{hp})=L(v_{hp})-B(\hat{u},v_{hp}) \quad \forall v_{hp} \in V_{hp} \) na siatce obliczeniowej.
Wówczas
\( \|u-u_{hp}\|_V \leq \frac{M}{\alpha} min_{w_{hp} \in V_{hp} } \| u-w_{hp} \|_V \)
Znaczenie Lematu Cea jest następujące. W idealnym przypadku, odległość rozwiązania problemu metody elementów skończonych \( u_{hp} \in V_{hp} \) na siatce obliczeniowej \( T_{hp }=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \) od rozwiązania problemu słabego \( u \in V \) byłaby to minimalna odległość rozwiązania \( u \in V \) problemu wariacyjnego od wszystkich elementów przestrzeni \( V_h \), w której szukamy rozwiązania problemu metody elementów skończonych. Byłoby tak, gdyby stała \( \frac{M}{\alpha} =1 \). Jest ona jednak \( \frac{M}{\alpha} \geq 1 \). Oznacza to, że błąd, który popełniamy rozwiązując problem metodą elementów skończonych, obarczony jest po pierwsze błędem wynikającym z konstrukcji siatki obliczeniowej \( T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \) (adaptacja siatki obliczeniowej zwiększa rozmiar przestrzeni \( V_{hp} \) i przybliża nasze rozwiązanie przybliżone \( u_{hp} \in V_{hp} \) do rozwiązania idealnego \( u \in V \)). Pozostały błąd wynika ze stosunku stałych \( M \) ciągłości i \( {\alpha} \) koercywności funkcjonału dwuliniowego \( B:V\times V \rightarrow {\cal R} \). Błąd ten można wyeliminować stosując metody stabilizacji opisane w stosownych modułach podręcznika.